双曲随机几何图中孤立点与极值点的极限理论

给定 $\alpha \in (0, \infty)$ 和 $r \in (0, \infty)$，令 ${\cal D}_{r, \alpha}$ 为具有曲率 $-\alpha^2$ 的双曲平面中半径为 $r$ 的圆盘。考虑在 ${\cal D}_{R, \alpha}$ 上具有均匀强度密度的 Poisson 点过程，其中 $R = 2 \log(n/ \nu)$，$n \in \mathbb{N}$，$\nu < n$ 为固定常数。将这些点投影到 ${\cal D}_{R, 1}$ 上并保持极坐标，得到 ${\cal D}_{R, 1}$ 上的 Poisson 点过程 ${\cal P}_{\alpha, n}$。在 ${\cal P}_{\alpha, n}$ 上的双曲几何图 ${\cal G}_{\alpha, n}$ 将 ${\cal P}_{\alpha, n}$ 中距离不超过 $R$ 的点对连边。该模型已被用来通过底层双曲几何表达复杂网络的基本特征。对于 $\alpha \in (1/2, \infty)$，我们建立了当 $n \to \infty$ 时 ${\cal G}_{\alpha, n}$ 中孤立点与极值点个数的期望与方差渐近以及渐近正态性。孤立点个数的极限理论与重正化对曲率参数高度敏感。特别地，对于 $\alpha \in (1/2, 1)$，方差为超线性的；对于 $\alpha = 1$，方差是带对数修正的线性的；而对于 $\alpha \in (1, \infty)$，方差是线性的。中心极限定理在 $\alpha \in (1/2, 1)$ 时不成立，但在 $\alpha \in (1, \infty)$ 时成立。