平均合理代表性存在性的概率分析

我们研究了基于批准的多胜选问题，其中 n 位选民共同决定从 m 个候选人中选出 k 位获胜者。我们关注的是由 Fernandez、Elkind、Lackner、Garcia、Arias-Fisteus、Basanta-Val 和 Skowron（2017）提出的公理“平均合理代表性”（AJR）。AJR 规定：每一群拥有共同偏好的选民，其平均满足度应不低于其哈雷配额。形式而言，对于每组 $\lceil\ell\cdot\frac{n}{k}\rceil$ 位拥有 $\ell$ 个共同批准候选人的选民，他们平均获得的获胜者中被批准的数量应至少为 $\ell$。众所周知，满足 AJR 的获胜委员会并不保证存在于所有多胜选实例中。本文我们在 Erd\H{o}s--R\'enyi 模型下研究 AJR 的存在性概率。我们考虑参数为 $p\in[0,1]$ 的 Erd\H{o}s--R\'enyi 模型，其对多胜选实例进行采样，其中每位选民以概率 $p$ 批准每位候选人（且选民批准候选人的事件相互独立），我们对 m 为常数且 n趋向无穷大的情况提供了 AJR 委员会存在性的清晰且完整的特征。我们证明，参数 $p$ 有两个相位转折点 $p_1$ 和 $p_2$（满足 $p_1\leq p_2$），使得：1）当 $p<p_1$ 或 $p>p_2$ 时，AJR 委员会以概率 $1-o(1)$ 存在；2）当 $p_1<p<p_2$ 时，AJR 委员会以概率 $o(1)$ 存在；3）当 $p=p_1$ 或 $p=p_2$ 时，AJR 委员会存在的概率受到 $0$ 和 $1$ 的限制。