利用双参考函数求解非凸非 Lipschitz 问题的块 Bregman 近端梯度下降法

在信号处理与数据分析的应用中，存在一大类非凸问题，其目标函数不受常见的全局 Lipschitz 连续梯度假设约束（例如非负矩阵分解（NMF）问题）。近来，具有某些特定结构的一类此类问题已通过 Bregman 近端梯度（BPG）方法求解。这启发我们提出一种新的块式双参考 Bregman 近端梯度（B2B）方法，该方法采用两个参考函数，从而在 Bregman 投影中获得闭式解。基于相对光滑性，我们证明了所提算法在各种块选择规则下的全局收敛性。特别地，我们建立了 B2B 的贪心与随机块更新规则的全局收敛速率为 $O(\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{k}})$，其比循环变体 $O(\frac{s}{\sqrt{k}})$ 快 $O(\sqrt{s})$ 倍，其中 $s$ 为块数，$k$ 为迭代次数。多个数值结果说明了所提 B2B 在求解 NMF 问题时相较于现有最优工作的优越性。