用随机梯度下降学习蒙特卡洛模拟中的随机变量:面向参数偏微分方程与金融衍生品定价

在金融工程中,金融产品的价格在每个交易日被近似计算多次,且每次计算采用(略微)不同的参数。在许多金融模型中,此类价格可通过蒙特卡洛(MC)模拟来近似。为获得良好近似,MC 样本量通常需相当大,导致得到单次近似的计算时间长。本文针对包含上述参数化金融定价问题在内的参数化近似问题,提出一种新的近似策略。该文所提近似策略的一个核心方面是将 MC 算法与机器学习技术结合,粗略而言,是在 MC 模拟中学习随机变量(LRV)。换言之,我们采用随机梯度下降(SGD)优化方法并非训练标准人工神经网络(ANN)的参数,而是学习 MC 近似中出现的随机变量。我们在多个参数化问题上对 LRV 策略进行了数值测试,与标准 MC 模拟、拟蒙特卡洛模拟、SGD 训练的浅层 ANN 及 SGD 训练的深度 ANN 相比结果令人信服。我们的数值模拟强烈表明,LRV 策略在若干情形下可能克服 $L^\infty$ 范数意义下的维数灾难,而标准深度学习方法已被证明无法做到。这与科学文献中建立的下界并不矛盾,因为这一新 LRV 策略不属于科学文献中已建立下界的那类算法。所提 LRV 策略具有普适性,不仅局限于上述参数化金融定价问题,也适用于一大类近似问题。