正特征域线性微分算子的 LCM 分解

本文提出了一种算法，用于计算特征域 $p$ 下线性微分算子的 $\mathrm{LCLM}$-分解，其中系数位于有理函数域 $\mathbb{F}_{p^n}(t)$ 中。我们证明，对于一个阶数为 $r$、系数次数为 $d$ 的算子 $L$，该算法在 $r$、$d$ 和 $p$ 上是多项式时间。该算法包含三个步骤。我们首先表明，$L$ 分解的'形状'可从其 $p$-曲率的 Frobenius 正规形中轻松获得，而该正规形可由 Bostan、Caruso 和 Schost 的算法有效计算。利用作者的论文中的结果，我们能够构建一个在 $L$ 的同一等价类中的算子 $L^*$，已知其 $\mathrm{LCLM}$-分解。最后，通过计算商模 $\mathbb{F}_q(t)\langle\partial\rangle/\mathbb{F}_q(t)\langle\partial\rangle L^*$ 与 $\mathbb{F}_q(t)\langle\partial\rangle/\mathbb{F}_q(t)\langle\partial\rangle L$ 之间的同构，我们找到 $L$ 的相应 $\mathrm{LCLM}$-分解。