任意维带重置扩散搜索中失败的大时间概率——一种泛函分析方法

我们考虑一种带重置的随机搜索模型，目标为未知的静止目标 $a\in\mathbb{R}^d,\ d\ge1$，其分布 $\mu$ 已知。搜索者从原点出发并执行扩散系数为 $D$ 的布朗运动。搜索者还配备一个速率为 $r>0$ 的指数时钟，若其在时钟响铃前未能定位目标，则其位置被重置回原点并重新从那里继续搜索。在一维情形中，当过程击中点 $a$ 时认为目标被定位；而在二维及更高维中，选取 $\epsilon_0>0$，当过程击中以 $a$ 为中心、半径为 $\epsilon_0$ 的球时认为目标被定位。记 $t$ 时刻搜索者位置为 $X(t)$，令 $\tau_a$ 表示位于 $a$ 的目标被定位的时间，$P^{d;(r,0)}_0$ 表示过程从 0 出发的概率。从泛函分析视角出发，利用马尔可夫搜索过程及其伴随过程的生成元，我们得到了关于 $P^{d;(r,0)}_0(\tau_a>t)$ 大时间渐近行为的精确估计（对 $a$ 一致），并由此获得对 $\int_{\mathbb{R}^d}P^{d;(r,0)}_0(\tau_a>t)d\mu(a)$（即搜索者在时刻 $t$ 前未能定位按 $\mu$ 分布的随机目标的概率）的大时间估计。