3-边染色 Steiner 三元系中的大单色分支

已知在完全 $r$-一致超图的边的任意 $r$-染色中，存在一个生成单色分支。给定 $n$ 个顶点的 Steiner 三元系，在其边的任意 3-染色中能保证得到的最大单色分支是多少？Gyárfás 证明了 $(2n+3)/3$ 是一个绝对下界，且对无穷多个 $n$ 该下界是最佳可能的。另一方面，我们证明对几乎所有 Steiner 三元系，该下界实际上是 $(1-o(1))n$。我们将此结果作为更一般定理的推论得到，该定理表明下界依赖于 Steiner 三元系中最大\emph{三部洞}（即满足 $|X_1|=|X_2|=|X_3|$ 且没有任何边与 $X_1, X_2, X_3$ 全部相交的集合 $X_1, X_2, X_3$）的大小（Gyárfás 此前观察到上界依赖于此参数）。此外，我们证明该下界是紧的，除非染色具有特定结构。我们还提出 Steiner 三元系背景下多种其他的 Ramsey 问题。