亚稳态小噪声扩散经验测度的大偏差性质

本文旨在为小噪声扩散的经验测度建立易处理的大偏差近似。出发点是 Freidlin-Wentzell 理论，该理论展示了如何通过大偏差原理近似此类扩散的不变分布。不变测度的速率函数用拟势表示，拟势是度量从一个亚稳态集邻域到另一个过渡难易程度的量。该理论为不变测度提供了直观且有用的近似，并且在此过程中还发展了许多有用的相关结果（例如，亚稳态之间的跃迁率）。考虑到蒙特卡洛方案设计的具体目标，我们证明了关于经验测度的积分的大偏差极限，其中过程考虑的时间区间长度随噪声趋于零而增长。特别地，我们展示了这些积分的一阶和二阶矩如何用能势表示。当过程动力学依赖于参数时，这些近似可用于算法设计，此类应用将另文发表。小噪声极限的使用有充分动机，因为在此极限下对状态空间的良好采样最具挑战性。证明利用了再生结构，并且需要若干新技术将再生周期上的大偏差估计转化为经验测度及其矩的估计。