基于时域数据的 Laplace 反卷积及其在动态对比增强成像中的应用

本文研究了有限时间区间上带有噪声的离散非等间距观测数据的 Laplace 反卷积问题。我们提出了一种新的 Laplace 反卷积方法，该方法在回归框架下，将卷积核、未知函数和观测信号在 Laguerre 函数基（作为 Laplace 卷积算子的代理特征函数基）上进行展开。该展开导出了一个小型线性方程组，其系数矩阵为三角 Toeplitz 矩阵。得益于这种三角结构，存在一个共同的项数 $m$ 用于控制函数展开，这是通过复杂度惩罚实现的。该方法的优势在于计算速度极快，由于在零点进行延拓并在 $T$ 处截断而不会产生边界效应，并且提供的估计量的风险在 Oracle 风险的对数因子范围内。我们强调，本文考虑的是真实的观测模型，即在长度为 $T$ 的有限区间上可能存在的非等间距观测，这种情况出现在许多不同背景下，并考虑了与该模型相关的偏差（当 $T\rightarrow\infty$ 时不存在该偏差）。本研究由灌注成像驱动，该成像使用短时对比剂注射，是评估组织（如癌症肿瘤）内微循环的医学程序。调节参数 $a$ 的存在允许选择最有利的时单位，从而使核和方程未知的右端项都能得到良好的表示以进行反卷积。通过广泛的模拟研究和真实数据示例说明了该方法，证实了所提出的技术快速、高效、准确、具有实用价值且极具竞争力。