基于结构化低秩张量恢复的同步盲反卷积与相位恢复景观分析

本文通过结构化低秩张量恢复框架对同步盲反卷积与相位恢复（BDPR）问题进行了几何分析。由于关联感知张量的高度复杂结构，直接刻画其优化景观是不可行的。为解决这一问题，我们引入一个张量感知问题作为可处理的代理模型，该模型保留了目标低秩张量的关键结构特征，同时使严格的理论分析成为可能。作为理解该代理模型的第一步，我们研究了相应的总体风险（population risk），其捕捉了底层低秩张量结构的关键方面。我们在单位球面上刻画了总体风险的总体景观，并证明了黎曼梯度下降（RGD）在温和条件下线性收敛。随后我们将分析扩展到张量感知问题，建立了局部几何性质，证明了 RGD 的收敛性保证，并量化了测量噪声下的鲁棒性。我们的理论结果得到了大量数值实验的进一步支持。这些发现为结构化低秩张量恢复问题的优化景观提供了基础性见解，该问题等价地刻画了原始 BDPR 问题，从而为求解原始 BDPR 问题提供了原则性指导。