随机微分方程的 $L^q(L^p)$-理论

本文中，我们给出了如下 $\mathbb R^d$ 中随机微分方程的唯一强解关于初值点 $x$ 的弱可微性以及 Bismut-Elworthy-Li 导数公式： $${\rm d} X_t=b(t,X_t){\rm d} t+\sigma(t,X_t){\rm d} W_t,\ \ X_0=x\in\mathbb R^d,$$ 其中 $\sigma$ 有界、一致连续且非退化，$\nabla\sigma\in \widetilde{\mathbb L}^{p_1}_{q_1}$ 且 $b\in \widetilde{\mathbb L}^{p_2}_{q_2}$，对某些 $p_i,q_i\in[2,\infty)$ 满足 $\frac{d}{p_i}+\frac{2}{q_i}<1$，$i=1,2$，这里 $\widetilde{\mathbb L}^{p_i}_{q_i}, i=1,2$ 为某些局部化空间。此外，在端点情形 $b\in \widetilde{\mathbb L}^{d; {\rm uni}}_\infty$ 下，我们也证明了弱适定性。