基于拉普拉斯形式化与 $L^1$ 可积性的 Kramers-Kronig 关系
数学物理
2024-08-01 v1 math.MP
摘要
Kramers-Kronig 关系将线性时不变系统描述的因果传递函数傅里叶变换的实部与虚部相联系。从物理角度看，根据 Kramers-Kronig 关系，吸收与色散成为同一硬币的两面。由于其背后假设的简单性，Kramers-Kronig 关系是物理学的基石。严格的数学证明由 Titchmarsh 在 1937 年完成，仅要求传递函数是平方可积的（），或等价地说，该系统的冲击响应具有有限能量。Titchmarsh 的证明绝非易得，因而涉及许多常被教师忽略的关键步骤，偶尔也导致一些作者尝试不稳妥的捷径。本文提供一种严格的数学证明，基于拉普拉斯形式化，要求传递函数更强的假设，即其是 Lebesgue 可积的（）。虽然结果不如 Titchmarsh 的证明一般，但其增强的简单性使物理学家更容易深入了解 Kramers-Kronig 关系的数学方面。
引用
@article{arxiv.2407.21694,
title = {Kramers-Kronig relations via Laplace formalism and $L^1$ integrability},
author = {Marco Prevedelli and Alessio Perinelli and Leonardo Ricci},
journal= {arXiv preprint arXiv:2407.21694},
year = {2024}
}
备注
11 pages, 2 figures