空间变化电磁场中带电粒子的 Klein-Gordon 方程——基于拉普拉斯变换的系统性研究

研究了在三种空间变化电磁场存在下带电粒子 Klein-Gordon 方程的精确解，这三种电磁场分别为：(i) $\vec{E}=\alpha\beta_0e^{-\alpha x_2}\hat{x}_2$, $\vec{B}=\alpha\beta_1e^{-\alpha x_2}\hat{x}_3$；(ii) $\vec{E}=\frac{\beta_0^{'}}{x_2^2}\hat{x}_2$, $\vec{B}=\frac{\beta_1^{'}}{x_2^2}\hat{x}_3$；以及 (iii) $\vec{E}=\frac{2\beta_0^{'}}{x_2^3}\hat{x}_2$, $\vec{B}=\frac{2\beta_1^{'}}{x_2^3}\hat{x}_3$。所有这些场都源自对一类系数为自变量线性函数的特定微分方程的系统性研究。采用拉普拉斯变换方法求解，对于上述前两种位形，相应的本征函数用合流超几何函数 $\,_{1}F_{1}(a', b'; x)$ 表示，而对于最后一种情形，则用第一类贝塞尔函数 $J_{n}(x)$ 表示。