随机扰动 KdV 方程的 Khasminskii--Whitham 平均

我们考虑阻尼驱动 KdV 方程 $$\dot u-\nu{u_{xx}}+u_{xxx}-6uu_x=\sqrt\nu \eta(t,x), x\in S^1, \int u dx\equiv \int\eta dx\equiv0,$$ 其中 $0<\nu\le1$，且随机过程 $\eta$ 在 $x$ 上光滑而在 $t$ 上为白噪声。对于任意周期函数 $u(x)$，令 $I=(I_1,I_2,...)$ 为由势函数 $u(x)$ 计算得出的 KdV 运动积分构成的向量。我们证明，如果 $u(t,x)$ 是上述方程的解，那么对于 $0\le t\lesssim\nu^{-1}$ 且 $\nu\to0$，向量 $I(t)=(I_1(u(t,\cdot)),I_2(u(t,\cdot)),...)$ 满足 (Whitham) 平均方程。