借助 ZFC$^-$ 或二阶 Peano 算术得到的 Jensen $\varDelta^1_3$ 实数

Jensen 于 1970 年证明：存在可构造宇宙 $L$ 的一个由实数 $a\not\in L$ 生成的泛型扩张 $L[a]$，使得在 $L[a]$ 中 $a$ 是 $\varDelta^1_3$ 的。Jensen 的力迫构造已在现代集合论中找到诸多应用。近期有人讨论能否完全在二阶 Peano 算术或等价的 FC$^-$（去掉幂集公理）内部复现 Jensen 的构造。障碍在于关键 CCC 性质的证明（无论借助 Jensen 原初论证还是后来使用 $\Diamond$ 的证明）本质上涉及 $L_{\omega_2}$ 的可数初等子模型，这远超出 ZFC$^-$ 的能力。我们展示如何通过在类 Jensen 的超限力迫构造过程中仅消去可定义的反链来规避这一困难，进而将具有极小 $\varPi^1_2$ 单点集的模型定义为 ZFC$^-$ 加 $V=L$ 的模型的一个类力迫扩张。