束缚纠缠的锯齿状孤岛与见证参数化概率

我们报告了若干见证参数化的束缚纠缠概率族。其中两个涉及 Hiesmayr 与 Löffler 所分析的 Bell 态“魔法”单形的 $d=3$（双量子 trit）子集，第三个涉及其 $d=4$（双量子 quart）子集。正部分转置（PPT）态的 Hilbert-Schmidt 概率——我们在其中搜索束缚纠缠态——为 $\frac{8 \pi }{27 \sqrt{3}} \approx 0.537422$（$d=3$）和 $\frac{1}{2}+\frac{\log \left(2-\sqrt{3}\right)}{8 \sqrt{3}} \approx 0.404957$（$d=4$）。我们得到的束缚纠缠概率为 $-\frac{4}{9}+\frac{4 \pi }{27 \sqrt{3}}+\frac{\log (3)}{6} \approx 0.00736862$ 与 $\frac{-204+7 \log (7)+168 \sqrt{3} \cos ^{-1}\left(\frac{11}{14}\right)}{1134} \approx 0.00325613$（$d=3$）以及 $\frac{8 \log (2)}{27}-\frac{59}{288} \approx 0.00051583$ 与 $\frac{24 \text{csch}^{-1}\left(\frac{8}{\sqrt{17}}\right)}{17 \sqrt{17}}-\frac{91}{544} \approx 0.00218722$（$d=4$）。因此，总纠缠概率似乎等于 $(1-\frac{8 \pi }{27 \sqrt{3}})+\frac{2}{81} \left(4 \sqrt{3} \pi -21\right) = \frac{13}{27} \approx 0.481481$。涵盖这些结果的函数族使用广义 Choi 与 Jafarizadeh-Behzadi-Akbari 见证进行参数化。两者达到了相同的束缚纠缠概率——所探测的集合（“锯齿状孤岛”）交集为空。两者的纠缠（束缚与“非束缚”/“自由”）概率均为 $\frac{1}{6} \approx 0.16667$，而它们的并集与交集分别为 $\frac{2}{9} \approx 0.22222$ 与 $\frac{1}{9} \approx 0.11111$。进一步，我们考察了广义 Horodecki 态，并估计了原始（8 维[双量子 trit]与 15 维[双量子 quart]）魔法单形自身的 PPT 概率分别约为 0.39339（很好地由 $\frac{7 \pi}{25 \sqrt{5}} \approx 0.39338962$ 拟合）与 0.115732。