层状单位距离图的同构性

对于任意 $\varepsilon \in (0,+\infty)$，考虑平面中的度量空间 $\mathbb{R} \times [0,\varepsilon]$，其被称为层状或条带。B. Baslaugh 在 1998 年发现，使得其单位距离图包含给定奇数长度 $k$ 循环的层的最小宽度 $\varepsilon \in (0,1)$。本文的第一项主要结果是：两个层 $\mathbb{R} \times [0,\varepsilon_1], \mathbb{R} \times [0,\varepsilon_2]$ 的单位距离图在 $\varepsilon_1 \neq \varepsilon_2$ 时不可同构。我们还得到该定理的多维推广。对于给定的 $n,m \in \mathbb{N}, p \in (1,+\infty), \varepsilon \in (0,+\infty)$，我们称具有由 $l_p$ 范数在 $\mathbb{R}^{n+m}$ 中生成的度量空间距离的度量空间 $\mathbb{R}^n \times [0,\varepsilon]^m$ 为一条层 $L(n,m,p,\varepsilon)$。我们证明，对于 $\varepsilon_1 \neq \varepsilon_2$，层 $L(n,m,p,\varepsilon_1), L(n,m,p,\varepsilon_2)$ 的单位距离图不可同构。本文的第三项主要结果是：对于 $n \geq 2, \varepsilon > 0$，其单位距离图的任意自同态 $\phi$ 都是等距映射。这与 1953 年的 Beckman-Quarles 定理有关——该定理指出，$\mathbb{R}^n$ 的任意保持单位的映射都是等距映射——以及 A. Sokolov 于 2023 年获得的该定理的有理数类比有关。