光滑流形上基于分数的生成模型的内蕴 Wasserstein 速率

基于分数的生成模型（Score-based generative models）在高维环境空间中训练，然而许多数据分布支撑在低维非线性结构上。我们证明，对于紧致的 $d$ 维光滑流形 $\mathcal{M} \subset [0,1]^D$（其中 $d > 2$）以及在 $\mathcal{M}$ 上严格正的 $\beta$-Hölder 密度，一个保方差 SGM 估计器能够达到内蕴 Wasserstein-1 样本指数 $\tilde{\mathcal{O}}(D^{\mathcal{O}_\beta(d)}n^{-(\beta+1)/(d+2\beta)})$，最多相差对数因子以及显式的几何和密度因子。完整的非渐近界显式地分离了有限阶几何包络、Hölder 半径、密度下界、环境依赖以及有限阶修正项。该分析将分数近似分解为大噪声切空间区域和小噪声投影中心化、去高斯化的 Laplace 区域。关键技术要素是通过有限内蕴锚点和高斯-牛顿迭代实现最近投影坐标的 ReLU 实现，而不是将流形投影近似为一个黑箱高维光滑映射。因此，对于具有多项式控制几何和密度下界的族，所构建的分数网络参数具有多项式级的环境依赖。