稀疏整数集的相交集

对于$E \subset \mathbb{N}$，子集$R \subset \mathbb{N}$称为$E$-相交的，如果对于每个具有正上相对密度的$A \subset E$，有$R \cap (A - A) \neq \varnothing$。另一方面，$R$称为染色$E$-相交的，如果对于每个有限划分$E=\bigcup_{i=1}^k E_i$，存在$i$使得$R\cap (E_i-E_i)\neq\varnothing$。当$E=\mathbb{N}$时，我们恢复通常的相交性与染色相交性概念。本文研究了当$E = \mathbb{P}$（素数集）或$\mathbb{N}$的其他稀疏子集时，已知的相交性结果在相对情形下在多大程度上成立。除其他结果外，我们证明了：-存在一个相交集不是$\mathbb{P}$-相交的。-然而，每个$\mathbb{P}$-相交集都是相交的。-存在一个染色$\mathbb{P}$-相交集不是相交的（因此也不是$\mathbb{P}$-相交的）。-平移陈素数集$\mathbb{P}_{\mathrm{Chen}} + 1$是$\mathbb{P}$-相交的（因此是相交的）。