自由群与自由乘自由阿贝尔群中的交构型

本文研究交构型——其描述了子群的多个（有限）交相对于有限可生成性的行为——在自由群与自由乘自由阿贝尔（FTFA）群中的情形。若存在子群 $H_1,\ldots , H_k \leqslant G$ 实现某一构型，则称该构型在群 $G$ 中可实现。众所周知，自由群 $\mathbb{F}_n$ 满足 Howson 性质：任意两个有限生成子群的交仍是有限生成的。我们证明 Howson 性质确实是非交换自由群中实现多重交构型的唯一障碍。相反，FTFA 群 $\mathbb{F}_n \times \mathbb{Z}^m$ 众所周知是非 Howson 的。我们也研究 FTFA 群中的多重交，给出一种算法以判定给定 $k\geq 2$ 个有限生成子群的交是否仍为有限生成，并在肯定情形下为其计算一组“基”。我们最终证明任意交构型在 FTFA 群 $\mathbb{F}_n \times \mathbb{Z}^m$（其中 $n\geq 2$ 且 $m$ 足够大）中均可实现。作为推论，我们给出了每个交构型均可实现的有限表示群。