多项式零点与重数矩阵的交互

一个 $m \times (n+1)$ 重数矩阵是一个矩阵 $M = ( \mu_{i,j} )$，其行由 $i \in \{ 1,\ 2, \ldots, m \}$ 枚举，列由 $j \in \{ 0,1,\ldots, n \}$ 枚举，其坐标为满足以下两个性质的非负整数：(1) 若 $\mu_{i,j} \geq 1$，则 $j \leq n-1$ 且 $\mu_{i,j+1} = \mu_{i,j}-1$；(2) 对所有 $j$，$M$ 的第 $j$ 列和满足不等式 $\sum_{i=1}^{m} \mu_{i, j} \leq n-j$。设 $K$ 为特征 0 的域，设 $f(x)$ 为系数在 $K$ 中的 $n$ 次多项式。设 $f^{(j)}(x)$ 为 $f(x)$ 的第 $j$ 阶导数。设 $\Lambda = ( \lambda_1,\ldots, \lambda_{m})$ 为 $K$ 中不同元素的序列。对 $i \in \{1, 2, \ldots, m \}$ 和 $j \in \{1,2,\ldots, n\}$，令 $\mu_{i,j}$ 为 $\lambda_i$ 作为多项式 $f^{(j)}(x)$ 零点的重数。矩阵 $M_f(\Lambda) = ( \mu_{i,j} )$ 称为多项式 $f(x)$ 关于 $\Lambda$ 的重数矩阵。一个开放问题是对作为 $K[x]$ 中多项式的重数矩阵进行分类，并构造不是多项式重数矩阵的重数矩阵。