含噪向量场的积分曲线与扩散张量成像中的统计问题：非参数核估计与假设检验

设 $v$ 为有界开集 $G\subset {\mathbb {R}}^d$ 中的向量场。假设 $v$ 在随机点 $X_i, i=1,...,n,$ 处被观测到并带有随机噪声，这些点在 $G$ 中独立且均匀分布。问题在于估计微分方程 $$\frac{dx(t)}{dt}=v(x(t)),\qquad t\geq 0,x(0)=x_0\in G,$$ 从给定点 $x(0)=x_0\in G$ 出发的积分曲线，并针对该积分曲线到达指定集合 $\Gamma\subset G$ 的假设开发统计检验。我们开发了一种基于 Nadaraya--Watson 型核回归估计量的估计过程，证明了估计积分曲线的渐近正态性，并推导了极限高斯过程的均值和协方差函数的微分与积分方程。这不仅提供了一种追踪积分曲线的方法，还能追踪其估计量的协方差矩阵。我们还研究了从积分曲线到足够光滑的曲面 $\Gamma\subset G$ 的平方最小距离的渐近分布。在此基础上，我们开发了针对积分曲线到达 $\Gamma$ 这一假设的检验程序。此类问题在扩散张量成像（diffusion tensor imaging）中具有研究价值，这是一种基于测量大脑白质离散位置扩散张量的脑成像技术，其中水分子的扩散通常是各向异性的。扩散张量数据用于估计扩散的主导方向，并遵循这些方向从初始位置追踪白质纤维。我们的方法为该问题的分析带来了更严谨的统计工具，特别是提供了可能在白质轴突连通性研究中有用的假设检验程序。