李群中非离散自由子群的不稳定性

我们研究李群中有限生成的非离散自由子群。我们探讨由 Étienne Ghys 首先提出如下问题：是否总可以对自由子群的生成元做任意小的扰动，使得由扰动后生成元所形成的新群不再是自由群？换言之，是否可以用满足非平凡关系的元素来逼近自由子群的生成元？我们证明 Ghys 问题的答案是肯定的，并将此结果推广到某些非自由子群。我们还考虑了关于以逼近群中关系的最小长度为度量的最佳逼近速率问题。我们给出最优逼近速率的上界为 $e^{-cl^{\kappa}}$，其中 $c>0$ 为常数，$l$ 为关系的最小长度，且 $0.19<\kappa<0.2$。