边界连通且最小化 Willmore 能量的曲面

对于给定的光滑闭曲线族 γ^1,...,γ^α⊂ℝ^3，我们考虑寻找以 γ=γ^1∪...∪γ^α 为边界的弹性连通紧致曲面 M 的问题。这通过在一类合适的竞争曲面上最小化 Willmore 能量 𝒲 来实现。虽然 Area 泛函的直接最小化可能导致极限不连通，但我们证明，若问题的下确界 <4π，则在具有指定边界条件的整数可求长曲率 varifold 类中存在 𝒲 的连通紧致极小元。这是通过证明具有边界且 Willmore 能量一致有界的有界 varifold 的 varifold 收敛蕴含其支撑在 Hausdorff 距离下收敛来完成的。因此，在边界条件的微小扰动导致不存在 Area 极小连通曲面的情况中，我们的最小化过程建模了具有此类边界数据的最优弹性连通紧致广义曲面的存在性。我们还研究了最优连通曲面直径任意大时的渐近 regime。在适当的有界性假设下，我们证明此类曲面的重标度收敛到圆球。对扰动和渐近两种 regime 的研究受到连接任意可能距离上两个平行圆的弹性曲面的显著情形的启发。我们使用的主要工具是曲率 varifold 的单调公式，我们将其推广到带边界的 varifold，连同其对有界 Willmore 能量 varifold 结构的影响。