基于原始对偶混合梯度的大规模线性规划不可行性检测

我们研究使用 Chambolle 和 Pock（2011）的原始对偶混合梯度法（PDHG）检测大规模线性规划问题不可行性的课题。关于 PDHG 的文献大多聚焦于所处理问题被假设为可行的设定。当问题不可行时，算法的迭代不收敛。在此情形下，我们证明迭代以受控速率发散至一条定义良好的射线。该射线的方向被称为极小位移向量 $v$。我们工作的第一个贡献是证明该向量在原始与对偶不可行性证书存在时恢复它们。基于此事实，我们提出一种从 PDHG 迭代中提取近似不可行性证书的简便方法。我们研究三条收敛至极小位移向量的不同序列：迭代之差、归一化迭代和归一化平均。它们都易于计算，因此该方法适用于大规模问题。我们的第二个贡献是建立这些序列的紧收敛速率。我们证明归一化迭代与归一化平均达到 $O(1/k)$ 的收敛速率，优于已知的 $O(1/\sqrt{k})$ 速率。该速率是一般性的，适用于非扩张算子的任意不动点迭代。因此，它是一个具有独立兴趣的结果，因为它涵盖广泛的一类算法，例如 ADMM，并可应用于线性规划之外的设定，如二次与半定规划。此外，在线性规划情形下，我们证明在非退化假设下，PDHG 的迭代在有限时间内识别出一个辅助可行问题的活跃集，从而确保迭代之差对极小位移向量呈现最终的线性收敛。