量子图的指标定理

在几何分析中，指标定理将两个微分方程解数之差与相关流形或丛的拓扑结构联系起来，有时利用两个高阶微分算子的热核作为中介。本文探讨了量子图的情形。量子图是被视为（奇异）一维流形并配备具有适当顶点条件的二阶微分哈密顿量 $H$（即“拉普拉斯算子”）的图。对于尺度不变的顶点条件（即不混合函数值及其导数值的条件），证明了热核展开的常数项与图的内部散射矩阵的迹成正比。通过将拉普拉斯算子分解为两个一阶算子 $H =A^*A$ 并将常数项与 $A$ 的指标联系起来，这一观察结果被置于指标理论的背景下。独立的考量提供了有限量子图上任意微分算子关于顶点条件的指标公式。还发现，$H$ 的久期行列式中 0 作为根的代数重数是 $A$ 和 $A^*$ 的零度之和。