增大温顺 Shafarevich 群的大小

设 $K$ 为数域，$S$ 为其有限素数集合。我们研究 $\mathbb{F}_p[G_{K,S}]$-模 $A$ 的上同调，特别是温顺集合 $S$ 时的 Shafarevich 群 $\Sha^i_S(K,A)$，其中 $i=1,2$，即 $S$ 不包含 $p$ 的素数的集合。当 $S$ 包含所有 $p$ 的素数时（即“�野”情形），由全局 Poitou-Tate 对偶性可得 $\Sha^1_S(K,A')^\vee \simeq \Sha^2_S(K,A) \stackrel{\simeq}{\hookrightarrow} \RusB_S(K,A)$ 当 $S$ 增大时是非递减的。同样的结论也适用于将 $G_{K,S}$ 替换为其最大原 $p$ 商 $G_{K,S}(p)$。在 [4] 中被证明当 $S$ 温顺且 $A=\mathbb{F}_p$ 且作用平凡时，$\Sha^2_S(K, A)$ 可随着 $S$ 增大到 $S\cup X$ 而增大，甚至可达其最大维数 $\dim_{\mathbb{F}_p} \RusB_S(K,\mathbb{F}_p)$，只要选择适当的 $X$。我们将其推广至一般 $\mathbb{F}_p[G_{K,S}]$-模 $A$，其中 $S$ 温顺。我们使用 Liu [7] 对 $\RusB_S(K,A)$ 的定义，证明 $\Sha^2_S(K,A) \hookrightarrow \RusB_S(K,A)$，并指出存在无穷多个 $K$ 的温顺素数集合 $X$，使得 $\Sha^2_{S\cup X}(K,A) \stackrel{\simeq}{\hookrightarrow} \RusB_{S \cup X}(K,A) \stackrel{\simeq}{\twoheadleftarrow} \RusB_S(K,A) \hookleftarrow \Sha^2_S(K,A)$。