柯尔莫哥洛夫复杂性理论中独立性放大的不可能性

本文利用柯尔莫哥洛夫复杂性的框架，研究了从具有有界独立性的源中提取随机性以及源的独立性放大问题。字符串$x$和$y$的依赖度为${\rm dep}(x,y) = \max\{C(x) - C(x \mid y), C(y) - C(y\mid x)\}$，其中$C(\cdot)$表示柯尔莫哥洛夫复杂性。我们证明存在一个可计算的柯尔莫哥洛夫提取器$f$，使得对于任意两个长度为$n$、复杂度为$s(n)$且依赖度为$\alpha(n)$的字符串，它输出一个长度为$s(n)$的字符串，该字符串在给定任一输入字符串的条件下复杂度为$s(n)- \alpha(n)$。我们证明了上述参数是柯尔莫哥洛夫提取器所能达到的最优值。同时证明独立性放大无法有效实现。具体而言，如果（排除平凡情况后）存在可计算函数$f_1$和$f_2$，使得对于所有依赖度${\rm dep}(x,y) \leq \alpha(n)$的$n$比特字符串$x$和$y$，有${\rm dep}(f_1(x,y), f_2(x,y)) \leq \beta(n)$，那么$\beta(n) \geq \alpha(n) - O(\log n)$。