若$(A+A)/(A+A)$较小则比率集较大

本文中，我们考虑和积问题，即对任意有限实数集$A$，获得集合$$\frac{A+A}{A+A}:=\left \{ \frac{a+b}{c+d} : a,b,c,d \in A, c+d \neq 0 \right\},$$大小的下界。主要结果是界$$\left| \frac{A+A}{A+A} \right| \gg \frac{|A|^{2+\frac{2}{25}}}{|A:A|^{\frac{1}{25}}\log |A|},$$其中$A:A$表示$A$的比率集。在比率集大小关于$|A|$为次二次的条件下，这改进了Balog和作者(arXiv:1402.5775)的结果。即，我们建立了蕴含关系$$\left| \frac{A+A}{A+A} \right| \ll |A|^{2} \Rightarrow |A:A| \gg \frac{ |A|^2}{\log^{25}|A|} .$$这一极值结果回答了作者与Zhelezov近期论文(arXiv:1410.1156)中类似的一些猜想的问题。