幂等元生成的代数与交换环的布尔幂
环与代数
2013-06-14 v1 一般拓扑
逻辑
摘要
交换环 R 的布尔幂 S 具有交换 R-代数的结构，且在此结构下，S 的每个元素均可唯一地写为正交幂等元的 R-线性组合，使得这些幂等元之和为 1 且其系数互不相同。为了形式化这一分解性质，我们引入了 Specker R-代数的概念，并证明了 R 的布尔幂在同构意义下恰好就是 Specker R-代数。我们还表明，这些代数可以通过一种源于 Bergman 和 Rota 工作的函子构造来刻画。当 R 不可分解时，我们证明 S 是 Specker R-代数当且仅当 S 是投射 R-模，从而加强了 Bergman 的一个定理；而当 R 是整环时，我们证明 S 是 Specker R-代数当且仅当 S 是无挠 R-模。对于不可分解的 R，我们证明 Specker R-代数范畴等价于布尔代数范畴，因而对偶等价于 Stone 空间范畴。此外，当 R 是整环时，我们证明 Baer Specker R-代数范畴等价于完全布尔代数范畴，因而对偶等价于极不连通紧致 Hausdorff 空间范畴。对于全序环 R，我们证明在 Specker R-代数 S 上存在唯一的偏序使其成为 R 上的 f-代数，并表明 S 等价于从配备区间拓扑的 Stone 空间 X 到 R 的分段常数连续函数构成的 R-代数。
引用
@article{arxiv.1306.3141,
title = {Idempotent generated algebras and Boolean powers of commutative rings},
author = {Guram Bezhanishvili and Vincenzo Marra and Patrick J. Morandi and Bruce Olberding},
journal= {arXiv preprint arXiv:1306.3141},
year = {2013}
}
备注
18 pages