点云上用于数据插值的超图 $p$-拉普拉斯正则化

作为图的推广，超图被广泛用于对数据中的高阶关系进行建模。本文探讨了超图结构对于不包含显式结构信息的点云数据插值的好处。我们在点云上定义了 $\varepsilon_n$-球超图和 $k_n$-最近邻超图，并研究了超图上的 $p$-拉普拉斯正则化。我们证明了在半监督设定下，当点数 $n$ 趋于无穷大而标记点数保持固定时，超图 $p$-拉普拉斯正则化与连续 $p$-拉普拉斯正则化之间的变分一致性。与图情况相比的一个关键改进是，结果依赖于对 $\varepsilon_n$ 和 $k_n$ 上界更弱的假设。为了求解凸但不可微的大规模优化问题，我们利用了随机原始-对偶混合梯度算法。数据插值的数值实验验证了超图 $p$-拉普拉斯正则化在防止标记点处出现尖峰方面优于图 $p$-拉普拉斯正则化。