如何通过 Carleman 与 Koopman-von Neumann 嵌入将线性微分方程映射为薛定谔方程以用于量子算法

求解具有大自由度的线性和非线性微分方程是一项重要的科学与工业应用任务。为了在量子计算机上求解此类微分方程，有必要将经典变量嵌入到量子态中。尽管迄今为止已研究了 Carleman 与 Koopman-von Neumann 嵌入，但即便对于线性微分方程，可映射为薛定谔方程的问题类别仍未被充分理解。在本工作中，我们研究了线性微分方程被映射为薛定谔方程并在量子计算机上求解的条件。有趣的是，我们发现这些条件对于 Carleman 与 Koopman-von Neumann 嵌入是相同的。我们还计算了与估计可观测量期望值相关的计算复杂度。这是通过假设一个态制备预言机、经由 Carleman 或 Koopman-von Neumann 嵌入的映射哈密顿量的块编码，以及使用 $O(\log M)$ 个量子比特对可观测量进行块编码来完成的，其中 $M$ 为映射后的系统尺寸。此外，我们考虑了一般的经典二次哈密顿量动力学，并找到了将其映射为薛定谔方程的充分条件。作为一个特例，这包括耦合谐振子模型 [Babbush 等人, \cite{babbush_exponential_2023}]。我们还找到了一个具体例子，它不能被描述为耦合谐振子，但可在我们的框架中映射为薛定谔方程。这些结果对于构建求解大自由度微分方程的量子算法十分重要。