某些奇异控制扩散的 HJB 方程

给定一个具有非空内部的闭有界凸集$\mathcal{W}\subset{\mathbb {R}}^d$，我们考虑一个控制问题，其中状态过程$W$和控制过程$U$满足$$W_t= w_0+\int_0^t\vartheta(W_s) ds+\int_0^t\sigma(W_s) dZ_s+GU_t\in \mathcal{W},\qquad t\ge0,$$其中$Z$是标准多维 Brownian 运动，$\vartheta,\sigma\in C^{0,1}(\mathcal{W})$，$G$是固定矩阵，且$w_0\in\mathcal{W}$。过程$U$局部有界变差，其增量位于给定的闭凸锥$\mathcal{U}\subset{\mathbb{R}}^p$中。给定$g\in C(\mathcal{W})$，$\kappa\in{\mathbb{R}}^p$，和$\alpha>0$，考虑在容许控制$U$上最小化成本$$J(w_0,U)\doteq\mathbb{E}\biggl[\int_0^{\infty}e^{-\alpha s}g(W_s) ds+\int_{[0,\infty)}e^{-\alpha s} d(\kappa\cdot U_s)\biggr]$$的目标。$g$和$\kappa\cdot u$（$u\in\mathcal{U}$）均可取正值和负值。本文研究了相应的动态规划方程 (DPE)，这是一个具有状态约束边界条件的二阶退化椭圆型 HJB 型偏微分方程。在可控性条件$G\mathcal{U}={\mathbb{R}}^d$和$\mathcal{H}(q)=\sup_{u\in\mathcal{U}_1}\{-Gu\cdot q-\kappa\cdot u\}$的有限性条件下（其中$q\in {\mathbb{R}}^d$，$\mathcal{U}_1=\{u\in\mathcal{U}:|Gu|=1\}$），我们证明了涉及反常积分的成本是良定义的。我们确立了以下结论：(i) 控制问题的值函数满足 DPE（在粘度解意义下），以及 (ii) 条件$\inf_{q\in{\mathbb{R}}^d}\mathcal{H}(q)<0$是 DPE 解唯一性的充要条件。解的存在性和唯一性被证明与直观的“无套利”条件相关联。我们的结果适用于 Brownian 控制问题，这些问题代表了与随机处理网络相关的控制问题的形式扩散近似。