铰接尺可在 $2-\Theta(\frac{1}{2^{n/4}})$ 内折叠

铰接尺是平面上首尾通过铰链相连的一段段线段序列，其中每个铰链恰好连接两段线段，第一段和最后一段各自仅邻接一个铰链，而所有其他线段恰好邻接两个铰链。Hopcroft、Joseph 和 Whitesides 在其 1985 年论文“On the Movement of Robot Arms in 2-Dimensional Bounded Regions”中首次提出铰接尺折叠问题：给定一个铰接尺和一个实数 $K$，能否将该铰接尺折叠以适配长度为 $K$ 的一维区间？我们证明，若线段长度被限制为区间 $[0,1]$ 中的实数，则我们总能将铰接尺折叠以适配长度为 $2-\Omega(\frac{1}{2^{n/4}})$ 的一维区间。另一方面，我们给出了一种铰接尺的构造，它不能被折叠进某个长度为 $2-O(\frac{1}{2^{n/4}})$ 的一维区间。