*-线性矩阵映射的 Hill 表示

在 1973 年的一篇论文中，R.D. Hill 研究了线性矩阵映射 $\mathcal{L}:\mathbb{C}^{q \times q}\to\mathbb{C}^{n \times n}$，其将厄米矩阵映到厄米矩阵，或等价地，保持伴随，即 $\mathcal{L}(V^*)=\mathcal{L}(V)^*$，通过如下形式的表示 \begin{equation*} \mathcal{L}(V)=\sum_{k,l=1}^m \mathbb{H}_{kl}\, A_l V A_k^*,\quad V\in\mathbb{C}^{q \times q}, \end{equation*} 其中矩阵 $A_1,\ldots,A_m \in\mathbb{C}^{n \times q}$，并在后续工作中(有时与合著者一起)继续研究此类表示，推广到完全正矩阵映射及相关的矩阵重排。本文将此类表示(此处称为 Hill 表示)的研究在多个方向上拓展。特别地，我们描述了哪些矩阵 $A_1,\ldots, A_m$ 可出现在 Hill 表示中(在数目 $m$ 最小时)，并显式确定了相关的 Hill 矩阵 $\mathbb{H}=\left[\mathbb{H}_{kl}\right]$。此外，我们描述了 $\mathcal{L}$ 的不同 Hill 表示(同样在 $m$ 最小时)之间的关系，并进一步探讨了 $*$-线性对线性映射 $\mathcal{L}$ 的含义。