稀疏多项式系统条件数的高概率分析
数值分析
2025-10-20 v1 数值分析
代数几何
摘要
设 F:=(f_1,...,f_n) 为一个具有固定 n 元组支撑的随机多项式系统。我们的主要结果给出了在区域 U 内 f 的条件数大于 1/epsilon 的概率的上界。该上界依赖于环流形上某微分形式的积分，当牛顿多面体（及底层协方差）全相同时可得到一个简单的显式上界。我们还考虑具有实系数的多项式，并给出实根期望个数与（受限）条件数的上界。借助贯穿始终的 Kahler 几何框架，我们还将 f 在区域 U 内根个数的期望表示为 U 上某一混合体积形式的积分，从而在 U = (C^*)^n 时恢复了经典的混合体积。
引用
@article{arxiv.math/0212179,
title = {High Probability Analysis of the Condition Number of Sparse Polynomial Systems},
author = {Gregorio Malajovich and J. Maurice Rojas},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0212179},
year = {2025}
}
备注
29 pages, no figures. Extensive revision and streamlining of math.NA/0012104. In particular, new theorem with explicit high probability estimate of the condition number of a random sparse polynomial system (Theorem 1) has been added