无界域中高精度 PINN：用于 PDE 中奇点表述的应用
机器学习
2025-06-25 v1 数值分析
数值分析
摘要
我们研究了在无界域中对物理信息神经网络（PINNs）进行高精度训练的问题，特别关注其在 PDE 奇点表述中的应用。我们提出了模块化的方法，并研究了神经网络 ansatz、抽样策略和优化算法的选择。结合严谨的数值证明和 PDE 分析，当 PINNs 提供的解具有很高的精度时，这些数值解可作为研究 PDE 中奇点的强大工具。对于 1 维布尔格方程，我们的框架可以得到非常高精度的解；对于与 3 维欧拉方程和 Navier-Stokes 方程的奇点表述直接相关的 2 维布oussinesq方程，我们得到的解的损失比 \cite{wang2023asymptotic} 小了 4 位，且训练步数更少。我们还讨论了在更高维问题中推向机器精度的潜在方向。
引用
@article{arxiv.2506.19243,
title = {High precision PINNs in unbounded domains: application to singularity formulation in PDEs},
author = {Yixuan Wang and Ziming Liu and Zongyi Li and Anima Anandkumar and Thomas Y. Hou},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.19243},
year = {2025}
}