带样条的高阶几何方法：离散Hodge-star算子分析

提出了一种新的样条几何方法。其主要成分是利用已建立的构成离散de Rham复形的样条空间，从p次样条出发构造一个原始序列$\{X^k_h\}^n_{k=0}$，以及从p-1次样条出发构造一个对偶序列$\{\tilde{X}^k_h\}_{k=0}^n$。通过对原始序列的空间施加齐次边界条件，这两个序列可以同构地相互映射。在此框架下，许多熟悉的二阶偏微分方程最终可以通过显式构造适当的本构关系离散版本（称为Hodge-star算子）来求解。将提出几种基于样条空间之间全局和局部投影算子的替代方案。与已发表的类似方法相比，本方法的吸引力有两点：首先，它表现出高阶收敛性；其次，它不依赖于任何（拓扑）对偶网格的几何实现。将采用不同空间维度的多个数值算例来验证所提方法的核心思想，并将其与等几何分析中的标准Galerkin方法进行比较。