用异构字典函数混合逼近 Koopman 算子的子空间不变性

Koopman 算子将非线性动力学建模为作用于非线性函数（作为状态）的线性动力系统。这种非标准状态通常称为 Koopman 可观测量，并通常通过从字典中抽取的函数叠加来数值近似。一种广泛使用的算法是扩展动态模态分解（Extended Dynamic Mode Decomposition, EDMD），其中字典函数取自固定的同质函数类。近来，深度学习与 EDMD 结合被用于学习新的字典函数，称为深度动态模态分解（deepDMD）。所学表示既（1）准确建模，又（2）随原始非线性系统维数良好扩展。在本文中，我们分析 deepDMD 学到的字典并探讨其优异性能的理论基础。我们发现了一种用于近似 Koopman 可观测量的新型字典函数类。这些字典函数的误差分析表明它们满足一种子空间近似性质，我们将其定义为一致有限近似闭包。我们发现，从不同非线性函数类抽取的异构字典函数的结构化混合达到了与 deepDMD 相同的精度和维数扩展性。这种混合字典以参数数量减少一个数量级实现了这一点，同时保持了几何可解释性。我们的结果为解释深度神经网络在学习 Koopman 算子的数值近似方面的成功提供了一个假设。