$\hbar$ 作为有效理论中 Minkowski 度规的参数

通过适当选择度规分量的量纲，所有场的作用量变得无量纲。诸如真空光速 c、Planck 常数 \hbar、电荷 e、粒子质量 m、Newton 常数 G 这样的物理量从不进入以协变形式（即通过度规 g^{\mu\nu}）写出的方程。光速 c 和 Planck 常数是广义相对论方程描述低能下涌现的有效理论中平坦各向同性 Minkowski 真空的一类特解（双参数族）的参数：g^{\mu\nu}=diag(-\hbar^2, (\hbar c)^2, (\hbar c)^2, (\hbar c)^2)。它们对平衡的量子真空态进行了参数化。进入协变方程的物理量是无量纲量以及具有静能 M 量纲或其幂次的量纲量。无量纲量包括跑动耦合“常数” \alpha_i；拓扑和几何量子数（角动量量子数 j、弱荷、电荷 q、超荷、重子与轻子荷、原子数 N 等）。量纲参数包括粒子静能 M_n（或/和质量矩阵）；具有 M^2 量纲的引力耦合 K；具有 M^4 量纲的宇宙学常数等。在有效理论中，间隔 s 具有 1/M 的量纲；它表征的是量子真空中粒子的动力学，而非时空的几何。我们讨论了有效作用量以及由该作用量得出的被测物理量，包括进入 Josephson 效应、量子 Hall 效应等中的参数。