图上的 Hamilton-Jacobi 方程及其在半监督学习与数据深度中的应用

最短路径图距离在数据科学和机器学习中被广泛使用，因为它们可以逼近数据流形上的底层测地距离。然而，最短路径距离对图中 corrupted 边的加入高度敏感，无论这些边是通过噪声还是对抗扰动引入。在本文中，我们研究图上的一类 Hamilton-Jacobi 方程，称之为 $p$-eikonal 方程。我们证明 $p=1$ 的 $p$-eikonal 方程是图上可证明鲁棒的距离型函数，而 $p\to \infty$ 极限恢复最短路径距离。虽然 $p$-eikonal 方程不对应于最短路径图距离，我们仍证明随机几何图上 $p$-eikonal 方程的连续极限在连续统中恢复测地密度加权距离。我们考虑 $p$-eikonal 方程在数据深度和半监督学习中的应用，并利用连续极限证明这两种应用的渐近一致性结果。最后，我们在真实图像数据集（包括 MNIST、FashionMNIST 和 CIFAR-10）上展示数据深度和半监督学习的实验结果，表明 $p$-eikonal 方程相比最短路径距离提供了显著更好的结果。