无需高层 Lasserre 的 Guruswami-Sinop 舍入

Guruswami 和 Sinop 指出，若代价图和需求图的拉普拉斯算子的广义特征值满足特定的谱条件，即 $\lambda_{r+1} \geq \Phi^{*}/(1-\delta)$，则通过求解 $O(r)$ 层 Lasserre 半定约束，可为非均匀稀疏割 (Sparsest Cut) 问题提供 $O(1/\delta)$ 的近似保证。他们的关键思想是一种舍入技术，首先利用适当缩放投影到 Lasserre 向量上，将向量值解映射到 $[0, 1]$。在本文中，我们表明仅使用 $\ell_{2}^{2}$ 三角不等式约束即可获得类似的投影和分析。这导致在通常的半定规划中仅添加 $\ell_{2}^{2}$ 三角不等式约束，并在满足相同谱条件 $\lambda_{r+1} \geq \Phi^{*}/(1-\delta)$ 的前提下，为非均匀稀疏割问题提供了 $O(r/\delta^{2})$ 的近似保证。