使用顶点或点守卫守护曲线艺术画廊

计算几何中最早且最著名的问题之一是所谓的艺术画廊问题。其目标是计算放置在简单多边形顶点上的最少守卫数量，以覆盖多边形的内部。在本文中，我们考虑守护一个建模为具有曲线墙壁的多边形的艺术画廊问题。我们的主要关注点是那些边为指向多边形外部或内部（但非两者兼有）的凸弧的多边形，分别称为分段凸多边形和分段凹多边形。我们证明，在分段凸多边形的情况下，如果仅允许使用顶点守卫，则有时需要 $\lfloor\frac{4n}{7}\rfloor-1$ 个守卫，而 $\lfloor\frac{2n}{3}\rfloor$ 个守卫总是足够的。此外，我们描述了一种时间复杂度为 $O(n\log{}n)$ 且空间复杂度为 $O(n)$ 的算法，该算法能生成大小至多为 $\lfloor\frac{2n}{3}\rfloor$ 的顶点守卫集。当允许使用点守卫时，上述下界降至 $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$。在单调分段凸多边形的特殊情况下，我们可以证明 $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$ 个顶点守卫总是足够且有时是必要的；即使允许使用点守卫，这些界限仍然有效。在分段凹多边形的情况下，我们表明 $2n-4$ 个点守卫总是足够且有时是必要的，而使用顶点守卫可能无法守护此类多边形。最后，我们给出了其他类型曲线多边形的界限及未来工作方向。