鲁棒降维、融合框架与 Grassmann 填充

我们考虑从构成融合框架的低维子空间上的含噪投影中估计随机向量。融合框架是一组子空间的集合，其到各子空间的投影算子之和被恒等算子的常数倍上下界所界定。我们首先确定了在白噪声存在下，从融合框架投影线性估计目标随机向量的最小均方误差 (MSE)。我们表明，当融合框架为紧框架时，MSE 取得最小值。随后，我们分析了所构建的线性最小均方误差 (LMMSE) 估计器对融合框架子空间擦除的鲁棒性。我们证明了由等维子空间构成的紧融合框架在针对单个子空间擦除时具有最大鲁棒性（在 MSE 意义下），且最优子空间维度取决于信噪比 (SNR)。我们还证明了由具有相等成对弦距离的等维子空间构成的紧融合框架，在针对两个及更多子空间擦除时最为鲁棒。我们将此类融合框架称为等距紧融合框架，并证明了此类框架中子空间间的弦距离满足所谓的单纯形界，从而建立了等距紧融合框架与最优 Grassmann 填充之间的联系。最后，我们给出了构造等距紧融合框架的几个实例。