图规范化：针对可微分 MWIS 的快速二值化动力学

我们提出图规范化（Graph Normalization，GN），一种作用于图上的原则性动力系统，作为 NP 难题最大权独立集（MWIS）问题的可微分近似引擎。MWIS 涵盖了诸多组合挑战，包括最优分配、调度、集合装箱以及离散马尔可夫随机场的 MAP 推断。与信念传播不同，本文证明 GN 必然收敛于最大独立集的二值指示器。GN 通过一次精确的Majorization-Minimization步骤实现快速准Newton下降，系统性地改进 MWIS 松弛原始目标。我们建立 GN 与非线性演化博弈中复制子动力学之间的等价，顶点为包含在独立集中而竞争。虽为非势能博弈，GN 博弈遵循菲舍尔自然选择基本定理，其中平均适应度等于 MWIS 原始目标且严格单调递增。该联系导致对 Motzkin-Straus 定理的一个加权扩展，表明独立集与倾斜单纯形上二次型的局部最小值之间存在一一对应关系。在分配问题中，GN 充当Sinkhorn算法的变体，自然收敛于硬分配，并可推广至任意约束图。我们在含最高 10^6 条边的真实基准上展示 GN 作为 state-of-the-art Bregman-Sinkhorn 松弛 MWIS 求解器的快速二值化引擎。GN 在 CPU 上以秒级速度识别解答，误差在已知最佳解的 1% 以内。GN 为需要在约束下进行可微分“硬”决策的深度学习架构开辟了新途径，适用于结构稀疏注意力、动态网络剪枝和 Mixture-of-Experts。除核心 AI 外，GN 框架支持计算机视觉、计算生物学和资源分配中的受约束优化的端到端学习。