考虑预算节省的连续影响最大化梯度方法

连续影响最大化（CIM）通过引入通用营销策略推广了原始的影响最大化：一个营销策略组合是一个向量 $\boldsymbol x = (x_1,\dots,x_d)$，使得对于社交网络中的每个节点 $v$，$v$ 可以以概率 $h_v(\boldsymbol x)$ 被激活为扩散的种子，其中 $h_v$ 是满足DR-子模性的策略激活函数。CIM的任务是选择一个策略组合 $\boldsymbol x$，满足约束 $\sum_i x_i \le k$（其中 $k$ 为预算约束），使得扩散过程后被激活节点的总数（称为影响传播，记为 $g(\boldsymbol x)$）最大化。在本文中，我们扩展CIM以考虑预算节省，即每个策略组合 $\boldsymbol x$ 具有成本 $c(\boldsymbol x)$，其中 $c$ 是凸成本函数，我们希望最大化平衡和 $g(\boldsymbol x) + \lambda(k - c(\boldsymbol x))$（其中 $\lambda$ 为平衡参数），并满足约束 $c(\boldsymbol x) \le k$。我们将此问题记为CIM-BS。CIM-BS的目标函数既非单调，也非DR-子模或凹，因此贪心算法和标准梯度法结果均不能直接应用。我们的关键创新是将梯度方法与反向影响采样相结合来设计算法求解CIM-BS：对于一般情形，我们给出达到 $\left(\frac{1}{2}-\varepsilon\right)$ 近似的算法；对于独立策略激活的情形，我们提出达到 $\left(1-\frac{1}{e}-\varepsilon\right)$ 近似的算法。