张量网络态中的全局对称性：对称张量与最小键维

张量网络提供了一种变分形式体系，用于高效表示晶格上扩展量子多体系统的波函数。在张量网络 $N$ 中，连接其张量的键指标维度 $\chi$ 控制了变分参数的数量及相关的计算成本。在没有任何对称性的情况下，表示给定多体波函数 $|\Psi\rangle$ 所需的最小键维 $\chi^{min}$ 能产生 $|\Psi\rangle$ 最紧凑、计算效率最高的张量网络描述。在存在全局在位对称性时，可以使用由对称张量构成的张量网络 $N_{sym}$。对称张量允许精确保持对称性并针对特定的量子数，同时其稀疏结构带来了紧凑的描述并降低了计算成本。本文探讨了使用具有最小键维 $\chi^{min}$ 的张量网络 $N$ 与使用由对称张量构成的张量网络 $N_{sym}$（其最小键维 $\chi^{min}_{sym}$ 可能大于 $\chi^{min}$）之间的权衡。我们提出了两个技术性结果。首先，我们证明在无环的最一般张量网络——树张量网络中，总是可以用对称张量实现最小键维，即 $\chi^{min}_{sym} = \chi^{min}$。其次，我们提供了含环张量网络的明确示例，其中将张量替换为对称张量必然会增加键维，使得 $\chi_{sym}^{min} > \chi^{min}$。然而，我们进一步论证，在某些情况下，出于重要的概念性原因，应优先选择具有对称张量（且可能具有较大键维）的张量网络表示，而非具有最小键维的表示。