基于 Schrödinger-Föllmer 扩散的全局优化

我们研究通过从小 enough 的 $\sigma \in (0,1]$ 采样具有密度 $p_{\sigma}(x)=\dfrac{\exp(-V(x)/\sigma)}{\int_{\mathbb R^d} \exp(-V(y)/\sigma) dy }$（关于 Lebesgue 测度）的概率分布 $\mu_{\sigma}$ 来近似寻找 $V(x):\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}$ 全局极小点的问题。我们在对步长 $s$ 与势函数 $V$ 的适当假设下，分析了基于 Schrödinger-Föllmer 扩散过程的 Euler-Maruyama 离散化并结合随机近似的采样器。我们证明所提采样器的输出以高概率为 $V(x)$ 的近似全局极小点，其代价为采样 $\mathcal{O}(d^{3})$ 个标准正态随机变量。数值研究说明了该方法的有效性及其相对于 Langevin 方法的优越性。