常微分方程的全局动力学：壁标记、Conley 复形与斜坡系统

我们引入了一种组合拓扑框架，用于刻画常微分方程的全局动力学。该方法受到基因调控网络研究的启发，这些网络通常由并非从第一性原理显式推导出的 ODE 建模。所提出的方法涉及从一组参数构建组合模型，然后将模型嵌入到连续设置中，使得代数拓扑不变量得以保留。在本文中，我们基于软件 Dynamic Signatures Generated by Regulatory Networks (DSGRN) 进行构建，该软件包用于探索由调控网络生成的动力学。通过扩展其功能，我们推导出 ODE 的全局动力学信息，并提取有关平衡点、周期轨、连接轨和分岔的信息。我们通过代数拓扑工具和分析界限验证了我们的结果，并通过几个示例和可能的未来方向展示了该框架的有效性。