一般散度型一致椭圆算子均值集的几何

在1998年关于障碍问题的Fermi讲座中，Caffarelli给出了均值定理的一个证明，该证明推广到一般散度型一致椭圆算子。在一般设定下，结果表明对于任意此类算子 $L$ 和域中任意点 $x_0$，存在嵌套集合族 $\{ D_r(x_0) \}$，其中任一集合上的平均值与函数在 $x_0$ 处的值相关。尽管已知 $\{ D_r(x_0) \}$ 是嵌套的，并且在如下意义下与球可比较：存在仅依赖于 $L$ 的 $c, C$，使得对所有 $r > 0$ 和域中 $x_0$ 有 $B_{cr}(x_0) \subset D_r(x_0) \subset B_{Cr}(x_0)$，但它们的几何和拓扑性质在很大程度上未知。本文开始研究这些课题，我们证明了关于这些集合几何的几个结果，并给出了定理的若干应用。